Protheus :: Curiosidade Matemática (Números Perfeitos)

O ADVPL não é uma linguagem puramente matemática e possui certa limitação em sua precisão numérica. Em função dessa limitação, o maior "Numero Perfeito" calculado em ADVPL será um número igual ou menor ao obtido através da operação: 2^56 = 72057594037927936.

Lembrando que 72057594037927936 não é um "Número Perfeito".

Mas afinal, o que é um "Número Perfeito"?

"Número Perfeito" é um número natural cuja soma de seus divisores próprios (excluído o próprio número) coincide com o número.

Ex.:

Numero 6:
Divisores: 1,2,3
Soma dos Divisores: 1+2+3=6

Numero 28
Divisores: 1,2,4,7,14
Soma dos Divisores: 1+2+4+7+14=28

Numero:496
Divisores: 1,2,4,8,16,31,62,124,248
Soma dos Divisores: 1+2+4+8+16+31+62+124+248=496

O Maior "Número Perfeito" conhecido é: 2.305.843.008.139.952.128

A título de curiosidade faremos um programa em ADVPL que verifica se um número é um "Número Perfeito". É algo que eu faria usando C ou C++ ou uma linguagem específica para operações matemáticas como o Fortran.

A expressão matemática, em ADVPL para calcular uma sequência de "Números Perfeitos" é:

2^(n-1)*(2^n-1)  onde n representa a ordem do Numero Perfeito:

Ex.:

para n = 2: 2^1(2^2 - 1) = 6

para n = 3: 2^2(2^3 - 1) = 28

para n = 5: 2^4(2^5 - 1) = 496

para n = 7: 2^6(2^7 - 1) = 8128

Vamos ao Código:

Função: NumeroPerfeito( nIntNum ) Retorna True se Numero Perfeito, False, caso contrário.

1: #DEFINE N_MAX 2^56 //72057594037927936 2: /*/ 3: Funcao: NumPerfeito 4: Autor: Marinaldo de Jesus 5: Data: 26/08/2010 6: Uso: Verificar se um numero eh um "Numero Perfeito" 7: /*/ 8: Static Function NumPerfeito( nIntNum ) 9: 10: Local nSum := 0 11: Local nPlus := 0 12: 13: Local lPrimo := .F. 14: 15: Local nInt := 0 16: Local nStart := ( 2 ^ Len( LTrim( Str( nIntNum ) ) ) ) 17: Local nFinish := Min( N_MAX , nIntNum ) 18: 19: For nMult := nStart To nFinish Step 2 20: 21: nInt := ( nIntNum / nMult ) 22: IF ( ( nInt - Int( nInt ) ) > 0 ) 23: Loop 24: EndIF 25: 26: IF ( lPrimo := IsPrimo( nInt ) ) 27: Exit 28: EndIF 29: 30: Next nMult 31: 32: IF !( lPrimo ) 33: Return( .F. ) 34: EndIF 35: 36: While ( ++nPlus < nIntNum ) 37: IF ( ( nIntNum % nPlus ) == 0 ) 38: nSum += nPlus 39: EndIF 40: End While 41: 42: Return( nIntNum == nSum )

Função IsPrimo( nNum ) Retorna true se numero primo, false caso contrário. Será usada como função Auxiliar para calcular o "Número Perfeito".

1: /*/ 2: Funcao: IsPrimo 3: Autor: Marinaldo de Jesus 4: Data: 26>/08/2010 5: Uso: Verificar se um numero eh um "Numero Primo" 6: /*/ 7: Static Function IsPrimo( nNum ) 8: 9: Local n2 10: Local nI 11: Local nJ 12: 13: n2 = Int( nNum / 2 ) 14: 15: For nI := 2 To n2 16: For nJ := nI To n2 17: if ( ( nI * nJ ) == nNum ) 18: Return( .F. ) 19: endif 20: Next nJ 21: Next nI 22: 23: Return( .T. )

Função: u_IsPerfectNum(), teste para achar os números perfeitos em um determinado intervalo.

1: User Function IsPerfectNum() 2: 3: Local n 4: 5: For n := 6 To N_MAX Step 2 //Onde: #DEFINE N_MAX 2^56 //72057594037927936 6: IF NumPerfeito( n ) 7: ConOut( "Numero:" + Str( n ) + " eh perfeito" ) 8: EndIF 9: Next n 10: 11: ConOut( "Final de Verificacao" ) 12: 13: Return( NIL )

Para acharmos os n Primeiros "Números Perfeitos" fariamos algo do tipo:

1: For n := 1 To 100 2: nNum := Int( 2^(n-1)*(2^n-1) ) 3: IF NumPerfeito( nNum ) 4: ConOut( "Numero: " + Transform(n,"999") + " :: " + Transform( nNum , "99999999999999999" ) ) 5: EndIF 6: Next n

Não tive paciência de esperar a execução da função de exemplo para obter todos os "Números Perfeitos" possíveis em ADVPL ( demora muuuuuuuuuuuuuito ). Se alguém tiver a curiosidade de testar e tiver paciência para esperar o termino da execução, publique um cometário com o conteúdo.

Um Desafio, tentei otimizar o código de forma a torná-lo o mais rápido possível, se alguém tiver uma idéia melhor, ficaria grato em vê-la.

Se desejar baixar o código, clique aqui

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